Use o Teste da Integral para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty1n^2+1
usando o Teste da Integral. O conteúdo aqui é decidir se a soma das parcelas an = 1/(n^2+1) converge ou diverge comparando-a com a integral imprópria de uma função f(x) que seja contínua, positiva e decrescente para x>=1.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 1x^2+1,
para x>=1. Note que:
  1. f(x)>0 para todo x>=1.
  2. f é contínua em [1,infty).
  3. A derivada
f'(x) = -2x(x^2+1)^2
é negativa para x>0, logo f é decrescente em [1,infty).
Com isso, podemos aplicar o Teste da Integral à série sum an.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria correspondente:
integral1^infty1x^2+1,dx
Como antiderivada de 1/(x^2+1) é arctan(x), temos
integral1^infty1x^2+1,dx = limttoinftyl[arctan(x)r]1^t = limttoinftyl(arctan(t)-arctan(1)r)
Sabendo que limttoinftyarctan(t)=pi/2 e arctan(1)=pi/4, resulta
integral1^infty1x^2+1,dx = pi2 - pi4 = pi4,
que é finito.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se
integral1^inftyf(x),dx
converge e f(n)=an, então a série sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1n^2+1 converge pelo Teste da Integral.

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