Use o Teste da Integral para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
usando o Teste da Integral. O conteúdo aqui é decidir se a soma das parcelas
converge ou diverge comparando-a com a integral imprópria de uma função
que seja contínua, positiva e decrescente para
.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que:
-
para todo . -
é contínua em . - A derivada
é negativa para
, logo
é decrescente em
.
Com isso, podemos aplicar o Teste da Integral à série .
Com isso, podemos aplicar o Teste da Integral à série
Passo 3
Calculamos a integral imprópria correspondente:
Como antiderivada de
é
, temos
Sabendo que
e
, resulta
que é finito.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, se
converge e
, então a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.