P4 Determine a equação paramétrica:
llx=3 sen phi cos theta y=3 sen phi sen theta & , z=3 <= phi <= pi z=3 cos phi & 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado nos pede a parametrização da esfera de raio 3 centrada na origem usando coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é conversão de coordenadas esféricas (rho,phi,theta) para coordenadas cartesianas (x,y,z).

Passo 2

Na convenção usual de coordenadas esféricas temos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
Para a esfera de raio rho=3, basta fixar rho=3.

Passo 3

Substituindo rho=3 nas fórmulas acima obtemos
x=3sinphicostheta, y=3sinphisintheta, z=3cosphi

Passo 4

O domínio dos parâmetros é
0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi,
pois phi percorre toda a colatitude e theta percorre toda a longitude.

Resposta

A parametrização pedida é dada pela função vetor
r(phi,theta)=l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir),
com 0<=phi<=pi e 0<=theta<=2pi.

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