P4 Determine a equação paramétrica:
llx=3 sen phi cos theta y=3 sen phi sen theta & 0 <= phi <= pi2 z=3 cos phi & 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado quer a parametrização da superfície no R^3 definida por
x=3senphicostheta, y=3senphisentheta, z=3cosphi
com 0<=phi<=tfracpi2 e 0<=theta<=2pi. O conteúdo principal aqui é o uso das coordenadas esféricas para parametrizar uma esfera de raio 3, restringindo-a à semiesfera superior ( z>=0).

Passo 2

Em coordenadas esféricas, um ponto (x,y,z) é dado por
x=rhosenphicostheta, y=rhosenphisentheta, z=rhocosphi,
onde rho>=0 é o raio, phiin[0,pi] é o ângulo polar (medido desde o eixo z) e thetain[0,2pi] é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

Para obter a esfera de raio 3, basta fixar rho=3. Para ficar apenas com a semiesfera superior (onde z>=0), usamos phiin[0,tfracpi2]. O parâmetro theta varia em todo 0<=theta<=2pi.

Passo 4

Substituindo rho=3 nas fórmulas esféricas, obtemos a parametrização desejada:
r(phi,theta) =l(x(phi,theta),,y(phi,theta),,z(phi,theta)r) =l(3senphicostheta,;3senphisentheta,;3cosphir),
com
0<=phi<=tfracpi2, 0<=theta<=2pi

Resposta

A equação vetorial paramétrica da semiesfera superior de raio 3 é
r(phi,theta) =l(3senphicostheta,;3senphisentheta,;3cosphir),
com 0<=phi<=tfracpi2 e 0<=theta<=2pi.

Exercícios relacionados