Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a<b e r<s, então a+r<b+s.

Passo 1

O enunciado está em um corpo ordenado (K,+,cdot,<) e diz que ,a<b e r<s. Queremos provar que
a + r < b + s
As propriedades que vamos usar são:
  • O1 (compatibilidade da ordem com adição): se x<y, então x+z<y+z.
  • O3 (transitividade da ordem): se x<y e y<z, então x<z.
  • Comutatividade da adição em K: x+y=y+x.

Passo 2

Aplicando O1 à desigualdade a<b com z=r, obtemos
a + r < b + r

Passo 3

Aplicando O1 à desigualdade r<s com z=b, temos
r + b < s + b
Pela comutatividade da adição em K, r+b=b+r e s+b=b+s. Logo
b + r < b + s

Passo 4

Agora usamos O3 (transitividade) nas duas desigualdades obtidas:
a + r < b + r e b + r < b + s,
para concluir
a + r < b + s

Resposta

a + r < b + s

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