Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado está em um corpo ordenado
e diz que
e
. Queremos provar que
As propriedades que vamos usar são:
- O1 (compatibilidade da ordem com adição): se
, então . - O3 (transitividade da ordem): se
e , então . - Comutatividade da adição em
: .
Passo 2
Aplicando O1 à desigualdade
com
, obtemos
Passo 3
Aplicando O1 à desigualdade
com
, temos
Pela comutatividade da adição em
,
e
. Logo
Passo 4
Agora usamos O3 (transitividade) nas duas desigualdades obtidas:
para concluir