P4 Determine a equação paramétrica:
llx=2 sen phi cos theta y=2 sen phi sen theta z=2 cos phi, 0 <= phi <= pi4 .

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte de uma esfera de raio 2 obtida em coordenadas esféricas com o ângulo polar phi variando de 0 até pi/4. Vamos usar a relação padrão entre coordenadas esféricas (rho,phi,theta) e cartesianas (x,y,z).

Passo 2

Em coordenadas esféricas fixamos rho=2. As fórmulas de conversão são
x = rho ,sinphicostheta, y = rho ,sinphisintheta, z = rho ,cosphi
Substituindo rho=2 temos
x = 2sinphicostheta, y = 2sinphisintheta, z = 2cosphi

Passo 3

O enunciado já fixa phiin[0,pi/4]. Para cobrir toda a volta azimutal, tomamos
thetain[0,2pi].

Passo 4

Portanto, a parametrização final da superfície é dada pelo vetor posição
r(phi,theta) = l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
com
0 <= phi <= pi4, 0 <= theta <= 2pi

Resposta

x(phi,theta) = 2sinphicostheta, y(phi,theta) = 2sinphisintheta, z(phi,theta) = 2cosphi, 0 <= phi <= pi4,;0 <= theta <= 2pi

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