Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
, então
.
Se
Passo 1
Estamos no âmbito de um corpo ordenado, cujo conjunto de elementos estritamente positivos chamaremos de
. Por definição de ordem,
Como no enunciado temos
, concluímos
Passo 2
Para provar
usamos de novo a definição de “<” em termos de
:
Agora observamos, usando axioma de inverso aditivo e defini\c~{a}o de subtra\c~{a}o, que
Pela comutatividade da adi\c~{a}o (axioma de corpo), isso \u00e9
Passo 3
Do Passo
já sabemos que
. Portanto
e, pela definição de “<”, segue-se imediatamente
Resposta
Logo, a partir de
obtemos
, como era para demonstrar.