Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a<b, então -b<-a.

Passo 1

Estamos no âmbito de um corpo ordenado, cujo conjunto de elementos estritamente positivos chamaremos de P. Por definição de ordem,
a < b Long<=ftrightarrow b - a in P
Como no enunciado temos a<b, concluímos
b - a in P

Passo 2

Para provar -b < -a usamos de novo a definição de “<” em termos de P:
- b < - a Long<=ftrightarrow (-a) - (-b) in P
Agora observamos, usando axioma de inverso aditivo e defini\c~{a}o de subtra\c~{a}o, que
(-a) - (-b) = -a + b
Pela comutatividade da adi\c~{a}o (axioma de corpo), isso \u00e9
-a + b = b + (-a) = b - a

Passo 3

Do Passo 1 já sabemos que b - ain P. Portanto
(-a) - (-b) = b - a in P
e, pela definição de “<”, segue-se imediatamente
- b < - a

Resposta

Logo, a partir de a<b obtemos -b< -a, como era para demonstrar.

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