Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a<b e r>s, então a-r<b-s. (Sugestão: Use os itens c) e d).)

Passo 1

O que queremos provar é: “se ;a<b; e ;r>s;, então ;a - r < b - s.”
Aqui trabalhamos em um corpo ordenado, usando as propriedades de ordem:
O2 (se x<y então x+z<y+z)
e a transitividade de < (parte de O1).
Além disso, vamos usar o item c): “se r>s então -r< -s”.

Passo 2

Como temos ;r>s;, pelo item c) obtemos
-r < -s

Passo 3

Agora aplicamos O2 somando a aos dois lados de -r< -s. Assim,
a + (-r) < a + (-s)
Mas a+(-r)=a-r e a+(-s)=a-s, então
a - r < a - s

Passo 4

Também aplicamos O2 à desigualdade a<b, somando -s a ambos os lados. Obtemos
a + (-s) < b + (-s),
isto é,
a - s < b - s

Passo 5

Por transitividade de <, das duas desigualdades
a - r < a - s e a - s < b - s
segue
a - r < b - s

Resposta

a - r < b - s.

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