Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
e
, então
. (Sugestão: Use os itens c) e d).)
Se
Passo 1
O que queremos provar é: “se
e
, então
.”
Aqui trabalhamos em um corpo ordenado, usando as propriedades de ordem:
O2 (se então
)
e a transitividade de (parte de O1).
Além disso, vamos usar o item c): “se então
”.
Aqui trabalhamos em um corpo ordenado, usando as propriedades de ordem:
O2 (se
e a transitividade de
Além disso, vamos usar o item c): “se
Passo 2
Como temos
, pelo item c) obtemos
Passo 3
Agora aplicamos O2 somando
aos dois lados de
. Assim,
Mas
e
, então
Passo 4
Também aplicamos O2 à desigualdade
, somando
a ambos os lados. Obtemos
isto é,
Passo 5
Por transitividade de
, das duas desigualdades
segue