P4 Determine a equação paramétrica:
llx=3 sen phi cos theta y=3 sen phi sen theta & 0 <= phi <= pi z=3 cos phi & 0 <= theta <= pi4.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a parte de uma esfera de raio 3 usando as coordenadas esféricas, com o parâmetro polar phi variando de 0 a pi e o parâmetro azimutal theta variando de 0 a pi/4. Vamos usar a fórmula padrão de mudança para coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, toda superfície de raio rho fixa é dada por
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi

Passo 3

Como aqui a esfera tem raio rho=3, substituímos e obtemos
x=3sinphicostheta, y=3sinphisintheta, z=3cosphi

Passo 4

O domínio dos parâmetros é
0<=phi<=pi, 0<=theta<=pi4

Resposta

A parametrização pedida é
r(phi,theta) =lang<= 3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphirang<=,
com
0<=phi<=pi,0<=theta<=pi4

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