P4 Determine a equação paramétrica:
x & =rho raiz2 cos theta2 & & y & =rho raiz2 sen theta2, & & 0 <= theta <= 2 pi z & =rho raiz22 & & 0 <= rho <= 3 raiz2

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da superfície dada pelas relações
x = rhoraiz22costheta, y = rhoraiz22sentheta, z = rhoraiz22,
com 0<=theta<=2pi e 0<=rho<=3raiz2. O conteúdo aqui é conversão de coordenadas numa superfície de revolução, eliminando o parâmetro rho para obter uma parametrização em termos de theta e z.

Passo 2

Isolamos rho da expressão de z. Temos
z = rhoraiz22
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rho = 2zraiz2 = zraiz2

Passo 3

Substituímos rho = zraiz2 em x e y:
x = (zraiz2)raiz22costheta = 2z2costheta = zcostheta,
y = (zraiz2)raiz22sentheta = zsentheta

Passo 4

O parâmetro rho variava em 0<=rho<=3raiz2, o que em termos de z vira
0 <= z <= 3
Mantém-se 0<=theta<=2pi.

Resposta

A parametrização final da superfície é
r(theta,z) = l(zcostheta,;zsentheta,;zr),
com
0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 3

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