P4 Determine a equação paramétrica:
llx=2 tg phi cos theta y=2 tg phi sen theta z=2 & , 0 <= phi <= pi3 l & 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a região contida no plano
com .

Passo 2

Como queremos o plano z=2, impomos
rhocosphi=2
e daí
rho=2cosphi

Passo 3

Substituindo em x e y,
x=2cosphisinphicostheta =2tanphicostheta,
y=2cosphisinphisintheta =2tanphisintheta,
e z=2.

Passo 4

O parâmetro phi varia de 0 a pi/3, logo
r=raizx^2+y^2=2tanphi Longrightarrow 0<= r<=2tanl(pi3r)=2raiz3
Mantendo theta em [0,2pi], podemos reescrever a parametrização em coordenadas cilíndricas:

Passo 5

A parametrização final, usando r e theta, fica
x=rcostheta, y=rsintheta, z=2, 0<= r<=2raiz3, 0<=theta<=2pi

Resposta

x=rcostheta, y=rsintheta, z=2, 0<= r<=2raiz3, 0<=theta<=2pi

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