Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo: onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' + 3 y' + 2 y = f(t)
Onde f(t) é uma função que vale 1 de t = 0 a t = 10 e 0 depois disso. Além disso, temos as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre Transformadas de Laplace, propriedades das transformadas e como aplicá-las em funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função f(t) de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com a Transformada de Laplace. Podemos usar a função degrau de Heaviside, que é muito útil para representar funções que “ligam” ou “desligam” em determinado ponto. Assim, podemos expressar f(t) como:
f(t) = 1 - u(t - 10)
Aqui, u(t - 10) é a função degrau que ativa a partir de t = 10 .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de y'' é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) , e como nossas condições iniciais são zero, isso simplifica para s^2 Y(s) . Fazendo isso para todos os termos, temos:
s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = L1 - Lu(t - 10)
Passo 4
Agora, vamos calcular as transformadas do lado direito. A Transformada de Laplace de 1 é 1s e a Transformada de u(t - a) é e^-a ss . Portanto, temos:
s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = 1s - e^-10 ss
Passo 5
Vamos fatorar Y(s) do lado esquerdo:
Y(s) (s^2 + 3 s + 2) = 1 - e^-10 ss
Agora, para isolar Y(s) , dividimos ambos os lados por s^2 + 3 s + 2 :
Y(s) = 1 - e^-10 ss (s^2 + 3 s + 2)
Passo 6
Vamos simplificar o denominador s^2 + 3 s + 2 . Este polinômio pode ser fatorado:
s^2 + 3 s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Então, a expressão para Y(s) fica:
Y(s) = 1 - e^-10 ss (s + 1)(s + 2)
Passo 7
Agora, vamos separar a fração em duas partes para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Y(s) = 1s (s + 1)(s + 2) - e^-10 s cdot 1s (s + 1)(s + 2)
Isso nos permite tratar cada termo separadamente na aplicação da Transformada inversa.
Passo 8
Vamos calcular a Transformada inversa do primeiro termo:
L^-11s (s + 1)(s + 2)
Para isso, usamos frações parciais. Decompomos a fração:
1s (s + 1)(s + 2) = As + Bs + 1 + Cs + 2
Resolvendo para A , B , e C , encontramos:
A = 12, B = -1, C = 12
Então, a Transformada inversa fica:
12 - e^-t + 12 e^-2 t
Passo 9
Agora, vamos tratar do segundo termo que envolve e^-10 s . Aplicando a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace, temos: