Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t) onde f(t)=lc1, & 0 <= t<10 0, & t >= 10 ; y(0)=0, y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' + 3 y' + 2 y = f(t)
Onde f(t) é uma função que vale 1 de t = 0 a t = 10 e 0 depois disso. Além disso, temos as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre Transformadas de Laplace, propriedades das transformadas e como aplicá-las em funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(t) de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com a Transformada de Laplace. Podemos usar a função degrau de Heaviside, que é muito útil para representar funções que “ligam” ou “desligam” em determinado ponto. Assim, podemos expressar f(t) como:
f(t) = 1 - u(t - 10)
Aqui, u(t - 10) é a função degrau que ativa a partir de t = 10 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de y'' é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) , e como nossas condições iniciais são zero, isso simplifica para s^2 Y(s) . Fazendo isso para todos os termos, temos:
s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = L1 - Lu(t - 10)

Passo 4

Agora, vamos calcular as transformadas do lado direito. A Transformada de Laplace de 1 é 1s e a Transformada de u(t - a) é e^-a ss . Portanto, temos:
s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = 1s - e^-10 ss

Passo 5

Vamos fatorar Y(s) do lado esquerdo:
Y(s) (s^2 + 3 s + 2) = 1 - e^-10 ss
Agora, para isolar Y(s) , dividimos ambos os lados por s^2 + 3 s + 2 :
Y(s) = 1 - e^-10 ss (s^2 + 3 s + 2)

Passo 6

Vamos simplificar o denominador s^2 + 3 s + 2 . Este polinômio pode ser fatorado:
s^2 + 3 s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Então, a expressão para Y(s) fica:
Y(s) = 1 - e^-10 ss (s + 1)(s + 2)

Passo 7

Agora, vamos separar a fração em duas partes para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Y(s) = 1s (s + 1)(s + 2) - e^-10 s cdot 1s (s + 1)(s + 2)
Isso nos permite tratar cada termo separadamente na aplicação da Transformada inversa.

Passo 8

Vamos calcular a Transformada inversa do primeiro termo:
L^-11s (s + 1)(s + 2)
Para isso, usamos frações parciais. Decompomos a fração:
1s (s + 1)(s + 2) = As + Bs + 1 + Cs + 2
Resolvendo para A , B , e C , encontramos:
A = 12, B = -1, C = 12
Então, a Transformada inversa fica:
12 - e^-t + 12 e^-2 t

Passo 9

Agora, vamos tratar do segundo termo que envolve e^-10 s . Aplicando a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace, temos:
L^-1e^-10 s cdot 1s (s + 1)(s + 2) = u(t - 10) cdot ( 12 - e^-(t - 10) + 12 e^-2 (t - 10) )

Passo 10

Finalmente, juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
y(t) = 12 - e^-t + 12 e^-2 t - u(t - 10) ( 12 - e^-(t - 10) + 12 e^-2 (t - 10) )

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = 12 - e^-t + 12 e^-2 t - u(t - 10) ( 12 - e^-(t - 10) + 12 e^-2 (t - 10) )

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