Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a<b e 0<c, então a c<b c.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado, de a<b e 0<c segue a,c<b,c.
Conteúdo: uso da definição de desigualdade em termos de positividade, da propriedade de fechamento da ordem positiva sob multiplicação (O3) e da distributividade do corpo.

Passo 2

Como a<b, pela definição de “<” num corpo ordenado temos
0 < b - a

Passo 3

Temos também 0<c por hipótese. Então, aplicando a propriedade O3 (fechamento de números positivos sob multiplicação), obtemos
0 < (b - a),c

Passo 4

Pela distributividade do corpo, expandimos o produto:
(b - a),c = b,c - a,c

Passo 5

Da desigualdade 0 < b,c - a,c segue, novamente pela definição de “<”, que
a,c < b,c

Resposta

Portanto, em um corpo ordenado, se a<b e 0<c, então necessariamente a,c<b,c.

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