Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado, de
e
segue
.
Conteúdo: uso da definição de desigualdade em termos de positividade, da propriedade de fechamento da ordem positiva sob multiplicação (O3) e da distributividade do corpo.
Conteúdo: uso da definição de desigualdade em termos de positividade, da propriedade de fechamento da ordem positiva sob multiplicação (O3) e da distributividade do corpo.
Passo 2
Como
, pela definição de “<” num corpo ordenado temos
Passo 3
Temos também
por hipótese. Então, aplicando a propriedade O3 (fechamento de números positivos sob multiplicação), obtemos
Passo 4
Pela distributividade do corpo, expandimos o produto:
Passo 5
Da desigualdade
segue, novamente pela definição de “<”, que
Resposta
Portanto, em um corpo ordenado, se
e
, então necessariamente
.