Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares, exceto em
. Vamos precisar usar as propriedades das Transformadas de Laplace, especialmente para lidar com derivadas e a função delta.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E:
Aplicando isso na equação original:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito:
. Sabemos que:
No nosso caso,
e
, então:
Como
, fica:
Passo 4
Substituindo de volta na equação transformada:
Vamos isolar
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo:
- Para
, sabemos que:
- Para
, usamos a propriedade do deslocamento:
Onde
é a função degrau de Heaviside. No nosso caso,
, então:
Como
(por periodicidade), temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: