Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
y^prime prime+y=de<a(t-2 pi) cos t ; y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' + y = de<a(t - 2pi) cos t com y(0) = 0 e y'(0) = 1
Aqui, y'' é a segunda derivada de y em relação ao tempo t, e de<a(t - 2pi) é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares, exceto em t = 2pi. Vamos precisar usar as propriedades das Transformadas de Laplace, especialmente para lidar com derivadas e a função delta.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E:
Ly = Y(s)
Aplicando isso na equação original:
s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1 + Y(s) = Lde<a(t - 2pi) cos t
Simplificando:
(s^2 + 1) Y(s) - 1 = Lde<a(t - 2pi) cos t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito: Lde<a(t - 2pi) cos t. Sabemos que:
Lde<a(t - a) f(t) = e^-a s f(a)
No nosso caso, a = 2pi e f(t) = cos t, então:
Lde<a(t - 2pi) cos t = e^-2pi s cos(2pi)
Como cos(2pi) = 1, fica:
e^-2pi s

Passo 4

Substituindo de volta na equação transformada:
(s^2 + 1) Y(s) - 1 = e^-2pi s
Vamos isolar Y(s):
(s^2 + 1) Y(s) = 1 + e^-2pi s
Então:
Y(s) = 1s^2 + 1 + e^-2pi ss^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo:
  1. Para 1s^2 + 1, sabemos que:
L^-11s^2 + 1 = sin t
  1. Para e^-2pi ss^2 + 1, usamos a propriedade do deslocamento:
L^-1e^-a ss^2 + 1 = sin(t - a) cdot u(t - a)
Onde u(t - a) é a função degrau de Heaviside. No nosso caso, a = 2pi, então:
L^-1e^-2pi ss^2 + 1 = sin(t - 2pi) cdot u(t - 2pi)
Como sin(t - 2pi) = sin t (por periodicidade), temos:
sin t cdot u(t - 2pi)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = sin t + sin t cdot u(t - 2pi)

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