Determine uma equação paramétrica da reta tangente às curvas nos pontos indicados.
\alpha(t)=\left(t^{2}, 3 t+1\right), t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\alpha(t) = \bigl(t^2,\;3t+1\bigr)
e pede a reta tangente no ponto correspondente a t=1.
Para isso precisamos lembrar que a derivada \alpha'(t) é um vetor tangente à curva em cada t, e que a reta tangente em t=1 passa por \alpha(1) e tem direção \alpha'(1).

Passo 2

Calcular a derivada de \alpha(t). Como \alpha(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) com x(t)=t^2 e y(t)=3t+1, temos
\alpha'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr) = \bigl(2t,\;3\bigr).

Passo 3

Avaliar \alpha(t) e \alpha'(t) em t=1:
\alpha(1) = \bigl(1^2,\;3\cdot1+1\bigr) = (1,4), \quad \alpha'(1) = (2\cdot1,\,3) = (2,3).

Passo 4

A reta tangente, usando parâmetro s, passa por (1,4) e tem vetor diretor (2,3). Logo sua equação paramétrica é
\ell(s) = (1,4) + s\,(2,3).
Isto é, em coordenadas:
\begin{cases} x(s) = 1 + 2s,\\\ y(s) = 4 + 3s. \end{cases}

Resposta

\ell(s) = (1 + 2s,\;4 + 3s).

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