(vii) Se det(A)=0, então A possui duas linhas idênticas.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se det(A)=0, então A possui duas linhas idênticas.” O conteúdo aqui é álgebra linear, mais precisamente propriedades de determinante e de dependência linear de linhas de uma matriz.

Passo 2

Lembre que det(A)=0 implica que as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes, ou seja, existe uma combinação não trivial que zera. Em particular, pode acontecer que uma linha seja múltiplo escalar de outra, mas não necessariamente idêntica.

Passo 3

Ter linhas linearmente dependentes significa que há coeficientes c1,c2,dots,cn, não todos zero, tais que
c1r1 + c2r2 + cdots + cnrn = 0
O caso “duas linhas idênticas” corresponde a escolher esses coeficientes de forma especial ( c1=1,;c2=-1,;ci=0 para i>2), mas há outras maneiras de obter dependência linear, por exemplo quando uma linha é múltiplo escalar de outra com fator diferente de 1.

Passo 4

Um contra-exemplo simples:
A = 1 & 2 2 & 4
Aqui as linhas são r1=(1,2) e r2=(2,4), que são múltiplas, mas não idênticas. Calculando o determinante:
det(A)=1cdot4-2cdot2=4-4=0
Logo det(A)=0 sem que haja duas linhas iguais.

Resposta

A afirmação é falsa.

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