Determine uma equação do plano que contém a reta:
r=l x=1+t y=2-t z=3+2 t
E é paralelo ao plano pi: 2 x-y+z-5=0.

Passo 1

O enunciado pede um plano P que satisfaça duas condições:
  1. Contenha a reta
r: x=1+t, y=2-t, z=3+2t,
  1. Seja paralelo ao plano
pi:2x - y + z -5 = 0
Para resolver, vamos usar que duas condições chave são:
  • Planos paralelos têm normais proporcionais.
  • Para uma reta estar contida num plano, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao normal do plano.

Passo 2

O vetor diretor de r é
d = (1,,-1,,2)
e o vetor normal de pi é
npi = (2,,-1,,1)
Se P é paralelo a pi, seu normal nP deve ser
nP = lambda,npi = lambda,(2,,-1,,1) para algum lambdaneq0
Como a reta r está em P, deve valer
nP cdot d = 0
Mas
nPcdot d = lambda,(2,,-1,,1)cdot(1,,-1,,2) = lambda,(2 + 1 + 2) = 5lambda
Para isso ser zero precisaríamos de 5lambda=0, ou seja lambda=0, o que anula o normal.

Passo 3

Não há como escolher lambdaneq0 que satisfaça nPcdot d=0. Logo, não existe nenhum plano paralelo a pi que contenha a reta r.

Resposta

Não existe plano que contenha a reta dada e seja paralelo ao plano pi.

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