Seja r a reta que passa pelos pontos A(0,1,2) e B(1,-1,3). Calcule a distância entre o ponto P(3,0,1) e a reta r.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(0,1,2), B(1,-1,3) e P(3,0,1). A reta r passa por A e B. Queremos a distância de P a r, usando o conteúdo de distância ponto–reta no espaço, cuja fórmula é
d ;=;|APtimesAB||AB|

Passo 2

Calculamos os vetores que entram na fórmula:
AB = B - A = (1-0,,-1-1,,3-2) = (1,-2,1),
AP = P - A = (3-0,,0-1,,1-2) = (3,-1,-1)

Passo 3

Fazemos o produto vetorial
APtimesAB = i & j & k 3 & -1 & -1 1 & -2 & 1 = (-3,,-4,,-5)
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|APtimesAB| = raiz(-3)^2+(-4)^2+(-5)^2 = raiz9+16+25 = raiz50 = 5raiz2

Passo 4

Calculamos o módulo de AB:
|AB| = raiz1^2+(-2)^2+1^2 = raiz6

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d = 5raiz2raiz6 = 5raiz3 = 5raiz33

Resposta

A distância de P à reta r é 5raiz33.

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