Determine se as retas a seguir são reversas ou se se encontram em algum ponto:
T1=c x=1+3 t y=2-t z=-1+4 t e T2:l x=3-s y=1+2 s z=5-3 s

Passo 1

O enunciado nos dá as retas T1 e T2 em forma paramétrica e pede para determinar se elas se intersectam ou são reversas. Vamos usar geometria analítica no espaço, igualando coordenadas e vendo se existe um par (t,s) que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 2

Igualamos as coordenadas de
T1:(x,y,z)=(1+3t,;2-t,;-1+4t)
com as de
T2:(x,y,z)=(3-s,;1+2s,;5-3s):
1+3t = 3 - s,
2 - t = 1 + 2s,
-1 + 4t = 5 - 3s

Passo 3

Da primeira equação isolamos s:
s = 3 - (1 + 3t) = 2 - 3t
Substituindo em 2 - t = 1 + 2s:
2 - t = 1 + 2(2 - 3t) = 5 - 6t ;Longrightarrow; 2 - t = 5 - 6t ;Longrightarrow; 5t = 3 ;Longrightarrow; t = tfrac35,
e então
s = 2 - 3l(tfrac35r) = tfrac15

Passo 4

Verificamos a terceira equação com esses valores:
-1 + 4l(tfrac35r) = -1 + tfrac125 = tfrac75, 5 - 3l(tfrac15r) = 5 - tfrac35 = tfrac225
Como tfrac75neq tfrac225, não há solução comum a todas as três igualdades.

Passo 5

Não existe ponto de interseção, e as retas não são paralelas (pois os vetores diretores não são múltiplos). Logo, as retas são reversas.

Resposta

As retas são reversas.

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