Encontre a projeção ortogonal do ponto P=(2,-1,3) sobre o plano \pi: x+2 y+z=4.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do ponto P=(2,-1,3) sobre o plano
\pi : x + 2y + z = 4.
O conteúdo usado será a projeção de um ponto em um plano usando o vetor normal ao plano.

Passo 2

O vetor normal a \pi é
\mathbf{n} = (1,2,1).
Para projetar P em \pi, usamos a fórmula
P' \;=\; P \;-\;\frac{A x_0 + B y_0 + C z_0 - D}{A^2+B^2+C^2}\,\mathbf{n},
onde A=1, B=2, C=1 e D=4.

Passo 3

Calculamos o numerador da fração:
A x_0 + B y_0 + C z_0 - D =1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 1\cdot3 - 4 =2 -2 +3 -4 =-1.
E o denominador é
A^2+B^2+C^2 = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 6.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
P' = (2,-1,3) \;-\;\frac{-1}{6}\,(1,2,1) = (2,-1,3) + \bigl(\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{6},\tfrac{1}{6}\bigr).
Logo,
P' = \bigl(2+\tfrac{1}{6},\,-1+\tfrac{2}{6},\,3+\tfrac{1}{6}\bigr) = \Bigl(\tfrac{13}{6},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{19}{6}\Bigr).

Resposta

A projeção ortogonal de P sobre \pi é
\Bigl(\tfrac{13}{6},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{19}{6}\Bigr).

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