Questão 2.
(a) Qual a relação entre os autovalores de uma matriz e de sua transposta?
(b) Se uma matriz é diagonalizável, então a sua transposta também é diagonalizável?
(c) Se uma matriz é inversível, qual a relação entres seus autovalores e os de sua inversa? E quanto aos autovetores? E quanto à sua diagonalizabilidade?
Nas notas de “transpostas de transformações lineares”, foram provados os seguintes fatos: Dada uma transformação linear
T \in L(\mathbb{V}) com transposta
T^{*} \in L\left(\mathbb{V}^{*}\right),
(I)
\operatorname{im}\left(T^{*}\right)=\operatorname{ker}(T)^{0};
(II) Se
\mathcal{B} é uma base ordenada para
\mathbb{V}, então
\left[T^{*}\right]_{\mathcal{B}^{*}}^{\mathcal{B}^{*}} é a transposta de
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}.
Além disso, na lista de exercícios 8, você mostrou que, se
W é um subespaço de
\mathbb{V}, então
(III)
\operatorname{dim}\left(W^{0}\right)=\operatorname{dim}(\mathbb{V})-\operatorname{dim}(W).
(a) Utilizando esses fatos e o Teorema do Núcleo e da Imagem, mostre que se
A é uma matriz quadrada, então
\operatorname{rank}\left(A^{t}\right)=\operatorname{rank}(A) e nulidade
(A)=\operatorname{nulidade}\left(A^{t}\right).
(b) Conclua que
\operatorname{dim}(\mathscr{E}(A, \lambda))=\operatorname{dim}\left(\mathscr{E}\left(A^{t}, \lambda\right)\right) para todo
\lambda \in \mathbb{F}, em que
\mathscr{E}(X, \lambda)=\operatorname{ker}(X-\lambda I).
Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
\mathbb{F}.