Determine uma equação para ao plano que contém as retas concorrentes r : lx=2-t y=1+2 t z=5 t e s : cy=x-1 z=2 x-4.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém as retas concorrentes
r: x=2 - t, y=1 + 2t, z=5t e s: y=x-1, z=2x-4
Para definir o plano, precisamos de um ponto que nele pertença e de um vetor normal. Vamos usar o ponto comum às duas retas e obter o vetor normal como produto vetorial dos vetores-direção de r e s.

Passo 2

Determinar o ponto de interseção das retas. Parametrizando s por u, temos
s:;x=u, y=u-1, z=2u-4
Na reta r, x=2-t, y=1+2t e z=5t. Igualando coordenadas de r(t) e s(u):
2 - t = u, 1 + 2t = u - 1, 5t = 2u - 4
Das duas primeiras equações segue
u = 2 - t e u = 1 + 2t + 1 = 2 + 2t Longrightarrow 2 - t = 2 + 2t Rightarrow t=0,
logo u=2. Substituindo em r ou em s obtemos o ponto
A=(2,,1,,0)

Passo 3

Obter os vetores-direção de cada reta.
Para r, variando t, o vetor-direção é
vec vr = l(tfracddt(2-t),,tfracddt(1+2t),,tfracddt(5t)r)=(-1,,2,,5)
Para s, variando u, o vetor-direção é
vec vs = l(tfracdduu,,tfracddu(u-1),,tfracddu(2u-4)r)=(1,,1,,2)

Passo 4

Calcular o vetor normal vec n ao plano como vec vrtimesvec vs.
vec n = i & j & k -1 & 2 & 5 1 & 1 & 2 = l(2cdot2 - 5cdot1,;-1cdot2 - 5cdot1,;-1cdot1 - 2cdot1r) =(-1,,-7,,-3)
Podemos multiplicar por -1 para simplificar e usar
vec n=(1,,-7,,3).

Passo 5

Escrever a equação do plano no formato ponto-normal. Usando A=(2,1,0) e vec n=(1,-7,3),
vec ncdotl((x,y,z)-(2,1,0)r)=0 ;Longrightarrow; 1,(x-2)-7,(y-1)+3,(z-0)=0
Expandindo,
x - 2 -7y +7 +3z =0 Longrightarrow x -7y +3z +5 = 0

Resposta

A equação do plano é
x - 7y + 3z + 5 = 0

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