Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(b) r: X=(3,-1,2)+lambda(-2,3,1) s: X=(9,-10,-1)+mu(4,-6,-2)

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r: X = (3,-1,2) + lambda,(-2,3,1), s: X = (9,-10,-1) + mu,(4,-6,-2)
Queremos achar todos os pontos que pertencem simultaneamente a r e a s. Para isso, igualamos as coordenadas de X nas duas representações paramétricas.

Passo 2

igualando as três coordenadas temos o sistema em
Vamos usar a terceira equação para expressar .

Passo 3

Da terceira equação,
2 + lambda = -1 -2mu Longrightarrow lambda = -3 -2mu
Substituindo em cada uma das outras equações:
– Na primeira:
3 -2(-3 -2mu) stackrel?= 9 +4mu Longrightarrow 3 +6 +4mu =9+4mu Longrightarrow 9+4mu=9+4mu,
que vale identicamente.
– Na segunda:
-1 +3(-3 -2mu)stackrel?= -10 -6mu Longrightarrow -1 -9 -6mu = -10 -6mu Longrightarrow -10 -6mu=-10 -6mu,
que também vale identicamente.

Passo 4

Como as três equações se reduzem a identidades, há infinitas soluções (lambda,mu) ligadas por lambda=-3-2mu. Isso significa que toda reta s está contida em r (ou seja, r e s coincidem). De fato, os vetores direção são colineares:
(4,-6,-2) = -2,(-2,3,1),
e o ponto (9,-10,-1) de s corresponde a lambda=-3 em r.

Resposta

As duas retas coincidem, logo a interseção é a reta toda:
X = (3,-1,2) + lambda,(-2,3,1), lambdainR

Exercícios relacionados