Seja T: R^n R^5 uma transformação linear.
Se T é sobrejetiva e dim(N(T))=2, qual o valor de n?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear
T: R^n to R^5
que é sobrejetiva e cujo núcleo satisfaz dim(N(T))=2. O conteúdo aqui é o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão).

Passo 2

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, para qualquer transformação linear T: Vto W vale
dim(V)=rank(T)+dim(N(T))
Aqui V=R^n, logo dim(V)=n. Como T é sobrejetiva em R^5, temos
rank(T)=dim(Im(T))=dim(R^5)=5

Passo 3

Substituindo no Teorema do Núcleo e Imagem:
n = rank(T) + dim(N(T)) = 5 + 2 = 7

Resposta

n = 7

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