Seja
uma transformação linear.
Se
é sobrejetiva e
, qual o valor de
?
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
que é sobrejetiva e cujo núcleo satisfaz
. O conteúdo aqui é o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão).
Passo 2
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, para qualquer transformação linear
vale
Aqui
, logo
. Como
é sobrejetiva em
, temos
Passo 3
Substituindo no Teorema do Núcleo e Imagem: