Determine a equação do plano que contém as retas e dadas abaixo:
[
s:\left{l x=-1+2 t y=3-2 t z=4 t \right.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que contém as retas r e s. O assunto é geometria analítica: para definir um plano precisamos de um ponto que pertença ao plano e de um vetor normal a ele. Vamos usar uma reta para obter o ponto e calcular o vetor normal usando as direções das retas e um vetor ligante.
Passo 2
Da reta r extraímos o ponto P_r = (1,2,1) e o vetor diretor vec vr=(1,-1,2). Da reta s escolhemos o ponto P_s = (-1,3,0) e o vetor diretor vec vs=(2,-2,4).
Observando vec vs=2vec vr, concluímos que as retas são paralelas mas não coincidentes, pois P_s não satisfaz a equação de r. Duas retas paralelas definem um único plano.
Passo 3
Para encontrar um vetor que ligue as duas retas, calculamos o vetor vec w=Ps-Pr:
vec w=(-1,3,0)-(1,2,1)=(-2,1,-1)
Passo 4
O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial vec n=vec vrtimesvec w:
vec n=(1,-1,2)times(-2,1,-1)=(-1,-3,-1)
Passo 5
Podemos multiplicar por -1 para ficar mais simples: vec n=(1,3,1). Agora usamos a forma ponto-normal do plano:
vec ncdotl((x,y,z)-Prr)=0
Passo 6
Substituindo vec n=(1,3,1) e Pr=(1,2,1) temos:
1(x-1)+3(y-2)+1(z-1)=0
E ao simplificar chega-se à forma geral do plano: