Determine a equação de um plano que contém as retas R1:(x, y, z)=(1,0,0)+t(1,2,1) e R2 : (x, y, z)=(0,1,0)+s(2,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que contém as retas
R1:(x,y,z)=(1,0,0)+t(1,2,1) e
R2:(x,y,z)=(0,1,0)+s(2,1,1).
Para determinar esse plano precisamos de um ponto em comum às duas retas e de um vetor normal ao plano. O ponto em comum obtém-se igualando as coordenadas paramétricas, e o vetor normal obtém-se pelo produto vetorial dos vetores diretores de R1 e R2.

Passo 2

Igualamos as coordenadas de
Da terceira equação vem implica e . Então o ponto de interseção é

Passo 3

Os vetores diretores são
u = (1,2,1) e v = (2,1,1)

Passo 4

Calculamos o vetor normal n = u times v:
n = i & j & k 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 = (2cdot1 - 1cdot1),i - (1cdot1 - 1cdot2),j + (1cdot1 - 2cdot2),k = (1,1,-3)

Passo 5

A equação de um plano com normal n=(1,1,-3) passando por P0=(2,2,1) é
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0,
ou seja,
(1,1,-3)cdot(x-2,y-2,z-1)=0
Expandindo:
(x-2)+(y-2)-3(z-1)=0 Longrightarrow x + y - 3z -1 = 0

Resposta

A equação do plano é
x + y - 3z - 1 = 0

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