Encontre a equação do plano tangente à esfera (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9 no ponto (1,2,6).

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de centro (1,2,3) e raio 3 definida por
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9
e pede o plano tangente a essa esfera no ponto P=(1,2,6).
Para superfícies definidas implicitamente por F(x,y,z)=0, o vetor normal ao plano tangente em P é nabla F(P), e a equação do plano é
nabla F(P)cdotl((x,y,z)-Pr)=0

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-9
Então o gradiente é
nabla F(x,y,z)=l(2(x-1),,2(y-2),,2(z-3)r)

Passo 3

Avaliamo-lo em P=(1,2,6):
nabla F(1,2,6)=l(2(1-1),,2(2-2),,2(6-3)r)=(0,0,6)
Esse vetor é normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação do plano tangente é
(0,0,6)cdotl((x,y,z)-(1,2,6)r)=0
ou seja
0cdot(x-1)+0cdot(y-2)+6cdot(z-6)=0 Longrightarrow z-6=0

Resposta

z=6

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