Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} onde T(x, y)=x+y;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad T(x,y)=x+y
é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(\alpha u)=\alpha\,T(u).

Passo 2

Verificação da aditividade. Tomemos vetores u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) em \mathbb{R}^2. Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)= (x_1+y_1)+(x_2+y_2)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
\alpha u=(\alpha x,\;\alpha y)
e
T(\alpha u)=T(\alpha x,\;\alpha y)=\alpha x+\alpha y=\alpha\,(x+y)=\alpha\,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T(x,y)=x+y é linear.

Exercícios relacionados