As duas retas a seguir são reversas:
\begin{aligned} & r:(1,1,1)+t \cdot(3,-1,0), t \in \mathbb{R} ; \\\ & s:(0,2,3)+k \cdot(1,1,-1), k \in \mathbb{R} . \end{aligned}
Determine a distância entre elas.
d_{r, s}=\frac{|(\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{A B})|}{\|\vec{u} \times \vec{v}\|}

Passo 1

O enunciado dá duas retas reversas em \mathbb{R}^3 e pede a distância entre elas.
Conteúdo: distância entre retas reversas usando produto vetorial e produto misto.

Passo 2

Identificamos para a reta r o ponto
\displaystyle A=(1,1,1) e o vetor direção \displaystyle \vec u=(3,-1,0),
e para a reta s o ponto
\displaystyle B=(0,2,3) e o vetor direção \displaystyle \vec v=(1,1,-1).
Definimos o vetor que une A a B como
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,\,2-1,\,3-1)=(-1,1,2).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \displaystyle \vec u\times\vec v, que é perpendicular a ambos e cuja norma é a área do paralelogramo gerado por \vec u e \vec v.
\vec u\times\vec v =(3,-1,0)\times(1,1,-1) =\bigl(({-1})(-1)-0\cdot1,\;-\bigl(3(-1)-0\cdot1\bigr),\;3\cdot1-(-1)\cdot1\bigr) =(1,3,4).
Sua norma é
\|\vec u\times\vec v\|=\sqrt{1^2+3^2+4^2}=\sqrt{26}.

Passo 4

Calculamos o produto misto (\vec u,\vec v,\overrightarrow{AB})=\vec u\cdot(\vec v\times\overrightarrow{AB}), cujo valor absoluto é o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores.
Primeiro
\vec v\times\overrightarrow{AB} =(1,1,-1)\times(-1,1,2) =\bigl(1\cdot2-(-1)\cdot1,\;-\bigl(1\cdot2-(-1)\cdot(-1)\bigr),\;1\cdot1-1\cdot(-1)\bigr) =(3,-1,2).
Em seguida
\vec u\cdot(\vec v\times\overrightarrow{AB}) =(3,-1,0)\cdot(3,-1,2) =3\cdot3+(-1)\cdot(-1)+0\cdot2=9+1+0=10.

Passo 5

Usamos a fórmula da distância entre retas reversas:
d_{r,s} =\frac{\bigl|\det(\vec u,\vec v,\overrightarrow{AB})\bigr|}{\|\vec u\times\vec v\|} =\frac{|10|}{\sqrt{26}} =\frac{10}{\sqrt{26}} =\frac{5\sqrt{26}}{13}.

Resposta

d_{r,s}=\frac{5\sqrt{26}}{13}.

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