O enunciado pede a equação de um plano P que contém a reta L1 definida pela interseção das duas superfícies
2x+3y-z=5
2x-5y+2z=6
e que é paralelo à reta L2 dada por
x = -y6 = z7
Para isso, vamos (i) encontrar vetores diretores de L1 e L2, (ii) obter o vetor normal de P como o produto vetorial desses dois diretores, (iii) achar um ponto de L1 e (iv) montar a equação do plano.
Passo 2
As normais aos planos que definem L1 são
n1 = (2,3,-1), n2 = (2,-5,2)
Logo, um vetor diretor de L1 é
d1 = n1 times n2 = i & j & k 2 & 3 & -1 2 & -5 & 2 =(1,,-6,,-16)
Passo 3
Da representação x = t,;y=-6t,;z=7t da reta L2, concluímos que um vetor diretor de L2 é
d2 = (1,,-6,,7)
Passo 4
O vetor normal ao plano P deve ser ortogonal a d1 e a d2. Assim,
n = d1 times d2 = i & j & k 1 & -6 & -16 1 & -6 & 7 =(-138,,-23,,0) propto(6,1,0)
Podemos, portanto, tomar n=(6,1,0).
Passo 5
Para determinar a constante do plano, precisamos de um ponto em L1. Resolvendo
2x+3y-z=5, 2x-5y+2z=6
escolhemos z=11, o que dá y=4 e x=2. Assim, A=(2,4,11) pertence a L1.
Passo 6
A equação geral do plano com normal (6,1,0) é
6x + y + d = 0
Substituindo A=(2,4,11) em 6cdot2 + 4 + d = 0 resulta em d=-16. Logo, a equação de P é