Responda todas as questões a seguir, apresentando os cálculos e justificativas necessárias.
Considere a matriz At=[ccc1 & t & 0 0 & 1 & t t & 0 & 1], t in R.
(a) Use o escalonamento para determinar os valores de t in R para os quais o sistema
At[l x y z ]=[l 3 2 1 ]
tem
  • (1.0 pontos) infinitas soluções.

Passo 1

Estamos resolvendo o sistema
onde
Queremos saber para quais o sistema tem infinitas soluções, ou seja, quando . Vamos usar escalonamento para determinar isso.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares:
[ccc|c 1 & t & 0 & 3 0 & 1 & t & 2 t & 0 & 1 & 1 ]
Fazendo R3 R3 - t,R1 obtemos
[ccc|c 1 & t & 0 & 3 0 & 1 & t & 2 0 & -t^2 & 1 & 1-3t ]
Em seguida R3 R3 + t^2,R2 resulta em
[ccc|c 1 & t & 0 & 3 0 & 1 & t & 2 0 & 0 & 1+t^3 & 1 - 3t + 2t^2 ]

Passo 3

O pivô da terceira linha é 1+t^3. Se 1+t^3neq0, ou seja tneq-1, o pivô é não nulo e o sistema tem solução única. Já se 1+t^3=0, isto é t=-1, então a terceira equação passa a ser
0cdot z = 1 -3(-1) + 2(-1)^2 = 1+3+2 =6,
ou seja 0=6, o que é impossível.

Passo 4

Concluímos que em t=-1 o determinante de At anula e a última linha fica inconsistente ( 0=6), gerando sistema sem soluções. Portanto nunca há caso em que rank(At)=rank([Atmid b])<3.

Resposta

O sistema não tem valor de tinR que gere infinitas soluções.

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