(Otimização) Maximize z=4 x+3 y sujeito a:
l x+y <= 6 2 x+y <= 8 x, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede para maximizar z=4x+3y sujeito às restrições
x+y<=6, 2x+y<=8, x,,y>=0
Esse é um problema de programação linear: a solução ótima ocorre em um vértice (extremo) da região factível. Vamos usar o método dos vértices.

Passo 2

Identificamos as retas que formam as fronteiras:
A reta x+y=6 tem interceptos com os eixos:
(x,y)=(0,6)e(x,y)=(6,0)
A reta 2x+y=8 tem interceptos:
(x,y)=(0,8)e(x,y)=(4,0)

Passo 3

Para achar a interseção das duas retas, resolvemos o sistema
x+y=6, 2x+y=8
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
2x+y - (x+y)=8-6;Longrightarrow;x=2,
e então y=6-2=4. Logo o ponto de interseção é (2,4).

Passo 4

Listamos os candidatos a vértices factíveis e testamos as restrições:
  • (0,0) satisfaz tudo.
  • (6,0) viola 2x+y<=8 porque 12>8.
  • (0,8) viola x+y<=6 porque 8>6.
  • (4,0) satisfaz 4+0<=6 e 8+0<=8.
  • (0,6) satisfaz 0+6<=6 e 0+6<=8.
  • (2,4) vem da interseção e satisfaz ambas como igualdade.
Portanto os vértices factíveis são
(0,0),(4,0),(2,4),(0,6)

Passo 5

Calculamos z em cada vértice:
z(0,0)=0, z(4,0)=16, z(2,4)=20, z(0,6)=18
O valor máximo é 20, obtido em (2,4).

Resposta

x=2,;y=4,;zmax=20.

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