Determine a equação do plano que passa por
e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. Como você justifica que tal volume é, de fato, mínimo?
Passo 1
O enunciado pede o plano que passa por
e, ao interceptar os planos coordenados, forma um tetraedro de volume mínimo. Vamos usar a forma intercepto do plano, a fórmula do volume de um tetraedro em função dos interceptos e otimização com multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Um plano que intercepta os eixos em
,
e
tem equação
Esse plano e os três planos coordenados formam um tetraedro cujo volume é
Como buscamos volume mínimo, assumimos
e trabalhamos com
Passo 3
Para que o plano passe por
, basta substituir essas coordenadas na forma intercepto, obtendo a restrição
Passo 4
Queremos minimizar
sob a condição
. Para isso, definimos a função de Lagrange
e impomos
.
Passo 5
As derivadas parciais geram o sistema
Igualando as expressões de
conclui-se que
Substituindo na restrição
dá
Passo 6
Com esses interceptos, a equação do plano é
ou, em forma geral,
Passo 7
O volume resultante vale
Passo 8
Para justificar que esse volume é mínimo global, note que se qualquer intercepto
ou
for levado ao infinito, mantendo
, o produto
cresce sem limite, e não há possibilidade de alcançar um volume menor na “fronteira” do domínio positivo. Assim, o único ponto crítico encontrado pelo método de Lagrange é, de fato, o mínimo.