Determine a equação do plano que passa por (1,2,1) e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. Como você justifica que tal volume é, de fato, mínimo?

Passo 1

O enunciado pede o plano que passa por (1,2,1) e, ao interceptar os planos coordenados, forma um tetraedro de volume mínimo. Vamos usar a forma intercepto do plano, a fórmula do volume de um tetraedro em função dos interceptos e otimização com multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Um plano que intercepta os eixos em (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) tem equação
xa + yb + zc = 1
Esse plano e os três planos coordenados formam um tetraedro cujo volume é
V = 16,|a,b,c|
Como buscamos volume mínimo, assumimos a,b,c>0 e trabalhamos com
V = a,b,c6

Passo 3

Para que o plano passe por (1,2,1), basta substituir essas coordenadas na forma intercepto, obtendo a restrição
1a + 2b + 1c = 1

Passo 4

Queremos minimizar V=tfrac16abc sob a condição tfrac1a + tfrac2b + tfrac1c = 1. Para isso, definimos a função de Lagrange
L(a,b,c,lambda) = a,b,c ;-;lambdal(tfrac1a+tfrac2b+tfrac1c-1r)
e impomos partialL/partial a = partialL/partial b = partialL/partial c = 0.

Passo 5

As derivadas parciais geram o sistema
b,c = lambdaa^2, a,c = 2lambdab^2, a,b = lambdac^2
Igualando as expressões de lambda conclui-se que
b = 2a, c = a
Substituindo na restrição tfrac1a + tfrac2b + tfrac1c = 1
1a + 22a + 1a = 3a = 1 ;;Longrightarrow;; a = 3, b = 6, c = 3

Passo 6

Com esses interceptos, a equação do plano é
x3 + y6 + z3 = 1
ou, em forma geral,
2x + y + 2z - 6 = 0

Passo 7

O volume resultante vale
Vmin = 16,l(3cdot6cdot3r) = 9

Passo 8

Para justificar que esse volume é mínimo global, note que se qualquer intercepto a,b ou c for levado ao infinito, mantendo tfrac1a+tfrac2b+tfrac1c=1, o produto a,b,c cresce sem limite, e não há possibilidade de alcançar um volume menor na “fronteira” do domínio positivo. Assim, o único ponto crítico encontrado pelo método de Lagrange é, de fato, o mínimo.

Resposta

2x + y + 2z - 6 = 0

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