Determine a equaçao do plano alpha que passa por P=(2,3,1) e é perpendicular à reta r: X=(3,0,0)+t(2,1,-3), t in R. Determine Q=r cap alpha.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano alpha que passa por P=(2,3,1) e é perpendicular à reta
r: X = (3,0,0) + t,(2,1,-3), tinR
O conteúdo envolvido é geometria analítica de planos e retas: para um plano ser perpendicular a uma reta, seu vetor normal pode ser escolhido igual ao vetor diretor da reta. Depois precisamos achar o ponto de interseção Q entre a reta e o plano.

Passo 2

O vetor diretor de r é
vec v = (2,1,-3)
Como o plano alpha é perpendicular a r, podemos usar
vec n=vec v
como vetor normal de alpha. A equação cartesiana do plano que passa por P=(2,3,1) e tem normal vec n=(2,1,-3) é
2(x-2)+1(y-3)-3(z-1)=0
Desenvolvendo, fica
2x-4 + y-3 -3z+3 = 0 Longrightarrow 2x + y -3z -4 = 0

Passo 3

Para encontrar Q=rcapalpha, parametrizamos a reta:
x = 3 + 2t, y = 0 + 1t = t, z = 0 -3t = -3t
Substituímos esses x,y,z na equação do plano:
2(3+2t) + (t) -3(-3t) -4 = 0

Passo 4

Resolvendo para t:
6 + 4t + t +9t -4 = 0 Longrightarrow 2 + 14t = 0 Longrightarrow t = -17

Passo 5

Agora calculamos Q substituindo t=-tfrac17 na parametrização:
xQ = 3 + 2l(-tfrac17r) = 197, yQ = -17, zQ = -3l(-tfrac17r) = 37
Logo
Q = l(tfrac197,, -tfrac17,, tfrac37r)

Resposta

Equação do plano:
2x + y -3z -4 = 0
Ponto de interseção:
Q = l(tfrac197,, -tfrac17,, tfrac37r)

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