Determine a equação da reta r que passa por P=(2,3,4) e é perpendicular ao plano alpha: X=(2,3,1)+lambda(1,0,-1)+mu(3,1,1), lambda, mu in R.

Passo 1

O enunciado pede a reta r que passa por P=(2,3,4) e é perpendicular ao plano alpha dado pela forma paramétrica
X = (2,3,1) + lambda,(1,0,-1) + mu,(3,1,1), lambda,muinR
Em geometria analítica, uma reta é perpendicular a um plano quando seu vetor diretor é ortogonal a todos os vetores do plano, isto é, quando coincide (até múltiplo) com o vetor normal ao plano. Vamos obter esse vetor normal.

Passo 2

Os vetores diretores do plano são
v1 = (1,0,-1), v2 = (3,1,1)
O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = v1 times v2 = (1,0,-1)times(3,1,1) = (1,-4,1)

Passo 3

Como a reta r deve passar por P=(2,3,4) e ter vetor diretor paralelo a n=(1,-4,1), sua equação vetorial é
r: X = (2,3,4) + t,(1,-4,1), tinR
Em coordenadas paramétricas:
x = 2 + t, y = 3 - 4t, z = 4 + t,
e em forma simétrica:
x-21 ;=;y-3-4;=;z-41

Resposta

A equação vetorial da reta é
X = (2,3,4) + t,(1,-4,1), tinR,
ou, de modo simétrico,
x-21 = y-3-4 = z-41

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