Determine a equação do plano pi que passa pelo ponto P=(1,0,2) e contém a reta de equações
x & =2-3 t y & =1-2 t z & =-1+2 t
em que t é um parâmetro real.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelo ponto
P = (1,0,2)
e contém a reta dada por
x = 2 - 3t, y = 1 - 2t, z = -1 + 2t
Conteúdo: equação de um plano a partir de um ponto e de uma direção de reta, usando produto vetorial para achar o vetor normal.

Passo 2

Extraímos a direção da reta e um segundo vetor no plano. A direção da reta é
v = (-3,,-2,,2)
Escolhemos um ponto qualquer da reta, por exemplo Q = (2,1,-1) (para t=0), e formamos o vetor
QP = P - Q = (1-2,;0-1,;2-(-1)) = (-1,,-1,,3)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é o produto vetorial
n = vtimes QP
Calculando pelo determinante:
n = i & j & k -3 & -2 & 2 -1 & -1 & 3 = l((-2)cdot3 - 2cdot(-1),; -l((-3)cdot3 - 2cdot(-1)r),;(-3)cdot(-1)-(-2)cdot(-1)r) = (-4,;7,;1)

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal do plano:
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 Longrightarrow (-4,7,1)cdot(x-1,y-0,z-2)=0
Expandindo:
-4(x-1)+7(y)+1(z-2)=0 ;Longrightarrow; -4x+4+7y+z-2=0 ;Longrightarrow; 4x-7y-z=2

Resposta

A equação do plano pi é
4x - 7y - z = 2

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