Verifique se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa.
U cdot[(V+alpha U+beta W) times W]=U times[V times W].

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade entre
U cdotl[(V+alpha U+beta W)times Wr]
e
U times l[Vtimes Wr]
O conteúdo envolvido é o produto misto (scalar triple product) e produto vetorial, usando linearidade do produto misto e propriedades de anulação do produto vetorial de vetores iguais.

Passo 2

Usamos a linearidade do produto misto em relação ao segundo fator cruzado:
U cdotl[(V+alpha U+beta W)times Wr] =Ucdot(Vtimes W) +alpha,Ucdot(Utimes W) +beta,Ucdot(Wtimes W)

Passo 3

Aplicamos que para quaisquer vetores A,B vale Atimes A=0 e consequentemente Acdot(Atimes B)=0 e Acdot(Btimes B)=0. Logo,
Ucdot(Utimes W)=0, Ucdot(Wtimes W)=0,
e assim
U cdotl[(V+alpha U+beta W)times Wr] =Ucdot(Vtimes W)

Passo 4

O lado direito da proposta é
U timesl[Vtimes Wr],
que é um vetor em geral não nulo, enquanto Ucdot(Vtimes W) é um escalar. Como escalar não pode ser igual a vetor, a igualdade não se mantém.

Resposta

Falsa.

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