1 A reta r passa pelo ponto (1,2,3) e é paralela à interseção dos planos alpha: x-y+z=1 e beta: 2 y+3 z=2.
Determine as equações paramétricas de r.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta r que passa por P=(1,2,3) e é paralela à reta de interseção dos planos
alpha: x - y + z = 1
e
beta: 2y + 3z = 2
Para definir uma reta no espaço precisamos de um ponto e de um vetor diretor. Como queremos que r seja paralela à interseção alphacapbeta, basta achar o vetor diretor dessa interseção. Sabemos que esse vetor diretor é dado pelo produto vetorial dos normais dos planos.

Passo 2

Os vetores normais são
nalpha = (1,-1,1), nbeta = (0,2,3)
Logo o vetor diretor da reta de interseção é
d = nalpha times nbeta = i & j & k 1 & -1 & 1 0 & 2 & 3 = (-5,-3,2)

Passo 3

Como r passa por P=(1,2,3) e tem vetor diretor d=(-5,-3,2), suas equações paramétricas são
x = 1 - 5t, y = 2 - 3t, z = 3 + 2t, tinR

Resposta

boxed x = 1 - 5t, y = 2 - 3t, z = 3 + 2t, tinR

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