Verifique se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa.
Se U times W=U times V, então W=V.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a verdade da afirmação: “Se Utimes W = Utimes V, então W=V”. O conteúdo que vamos usar é a definição de produto cartesiano e argumentos de inclusão de conjuntos.

Passo 2

Considere primeiro o caso em que U = emptyset. Então
Utimes W = emptyset = Utimes V
para quaisquer conjuntos W e V. Assim, a igualdade Utimes W = Utimes V ocorre mesmo quando Wneq V. Logo, em geral, a afirmação é falsa.

Passo 3

Agora suponha que Uneqemptyset. Escolha um elemento qualquer u0in U.
  • Se win W, então (u0,w)in Utimes W = Utimes V, logo existe vin V com (u0,w)=(u0,v). Daí w=v e win V. Concluímos Wsubseteq V.
  • De modo análogo, pegando vin V obtemos vin W, ou seja, Vsubseteq W.
Portanto, quando Uneqemptyset, a igualdade Utimes W=Utimes V implica W=V.

Resposta

A afirmação é falsa em geral (por exemplo, se U=emptyset). Ela só se torna verdadeira sob a hipótese adicional de que Uneqemptyset.

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