Verifique se a série abaixo converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
onde
é um parâmetro real. Como temos fatoriais e exponenciais, o teste da razão é a ferramenta mais eficiente para investigar convergência.
Passo 2
Seja
Calculamos a razão entre o termo seguinte e o atual:
Passo 3
Para entender o comportamento de
quando
, usamos a expansão
Logo
Substituindo em
dá
Passo 4
Agora analisamos o limite da razão:
-
Se
, então e . Assim logo a série converge (por teste da razão). -
Se
, então e logo a série diverge. -
Se
, então e logo a série diverge.
Resposta
A série converge somente para
e diverge para
.