Verifique se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=1^+infty n!e^n^r

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n!e^n^r
onde r é um parâmetro real. Como temos fatoriais e exponenciais, o teste da razão é a ferramenta mais eficiente para investigar convergência.

Passo 2

Seja
an = n!e^n^r
Calculamos a razão entre o termo seguinte e o atual:
an+1an = (n+1)!e^(n+1)^r;/;n!e^n^r = (n+1),e^,n^r - (n+1)^r

Passo 3

Para entender o comportamento de n^r - (n+1)^r quando ntoinfty, usamos a expansão
(n+1)^r = n^rl(1+1nr)^r = n^rl(1 + rn + ol(tfrac1nr)r) = n^r + r,n^,r-1 + ol(n^,r-1r)
Logo
n^r - (n+1)^r = -,l(r,n^,r-1 + o(n^,r-1)r)
Substituindo em an+1an
an+1an = (n+1),expl(-,r,n^,r-1 + o(n^,r-1)r)

Passo 4

Agora analisamos o limite da razão:
  • Se r>1, então r-1>0 e r,n^,r-1toinfty. Assim
    an+1anto 0<1,
    logo a série converge (por teste da razão).
  • Se r=1, então r,n^,r-1=1 e
    an+1ansimn+1etoinfty>1,
    logo a série diverge.
  • Se r<1, então r,n^,r-1to0 e
    an+1ansim n+1toinfty>1,
    logo a série diverge.

Resposta

A série converge somente para r>1 e diverge para r<= 1.

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