Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, então é bom saber o que é uma série geométrica e como funciona o teste de convergência para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor o que estamos lidando. Observe que pode ser reescrito assim:
Então, a série original fica:
Passo 3
Perceba que temos uma série geométrica da forma:
onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, e .
Passo 4
Agora, vamos lembrar do Teste da Série Geométrica, que diz:
Se , a série converge e a soma é .
Se , a série diverge.
Vamos ver qual é o valor de na nossa série.
Passo 5
Calculando o valor absoluto da razão :
Como |r| < 1, de acordo com o teste, a série converge.
Passo 6
Opcionalmente, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da série geométrica:
S = a1 - r = 21 - 23 = 213 = 6
Então, a série não só converge como também temos a soma dela igual a 6.
Resposta
A série sumn=0^+infty 2^n+13^nconverge e sua soma é igual a 6.