Verifique se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=0^+infty 2^n+13^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série sumn=0^+infty 2^n+13^n converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, então é bom saber o que é uma série geométrica e como funciona o teste de convergência para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor o que estamos lidando. Observe que 2^n+13^n pode ser reescrito assim:
2^n+13^n = 2 cdot 2^n3^n = 2 cdot (23)^n
Então, a série original fica:
sumn=0^+infty 2 cdot (23)^n

Passo 3

Perceba que temos uma série geométrica da forma:
sumn=0^+infty a cdot r^n
onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a = 2 e r = 23.

Passo 4

Agora, vamos lembrar do Teste da Série Geométrica, que diz:
  • Se |r| < 1, a série converge e a soma é a1 - r.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
Vamos ver qual é o valor de r na nossa série.

Passo 5

Calculando o valor absoluto da razão r:
|r| = |23| = 23 < 1
Como |r| < 1, de acordo com o teste, a série converge.

Passo 6

Opcionalmente, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da série geométrica:
S = a1 - r = 21 - 23 = 213 = 6
Então, a série não só converge como também temos a soma dela igual a 6.

Resposta

A série sumn=0^+infty 2^n+13^n converge e sua soma é igual a 6.

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