Determine a equação do plano que passa pelo ponto P=(1,2,-1) e tem vetor normal \vec{n}=(2,-3,4).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa por P=(1,2,-1) e cuja normal é \vec{n}=(2,-3,4). O conteúdo aqui é geometria analítica de planos no espaço, e vamos usar a forma vetorial/escalar do plano:
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.

Passo 2

Escrevendo explicitamente essa forma, se \vec{n}=(a,b,c) e P=(x_0,y_0,z_0), a equação vetorial vira
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.

Passo 3

Substituindo a=2, b=-3, c=4 e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,-1), temos
2(x-1)-3(y-2)+4\bigl(z-(-1)\bigr)=0.

Passo 4

Agora basta expandir e simplificar:
2x-2 \;-\;3y+6 \;+\;4z+4=0
2x-3y+4z+(-2+6+4)=0
2x-3y+4z+8=0.

Resposta

A equação do plano é
2x - 3y + 4z + 8 = 0.

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