Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A=(1,0,2), B=(2,1,3) e C=(3,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos A=(1,0,2), B=(2,1,3) e C=(3,-1,1). Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço: formar vetores diretores do plano, calcular o vetor normal por produto vetorial e depois usar a forma ponto-normal da equação do plano.

Passo 2

Construímos dois vetores diretores do plano tomando diferenças entre os pontos dados:
\displaystyle \overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;1-0,\;3-2)=(1,1,1)
\displaystyle \overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,\;-1-0,\;1-2)=(2,-1,-1)

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} \;=\;\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} =(0,\;3,\;-3).
Podemos simplificar dividindo por 3 e usar \mathbf{n}=(0,1,-1).

Passo 4

A forma ponto-normal da equação do plano é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Substituindo \mathbf{n}=(0,1,-1) e A=(1,0,2), temos
0\,(x-1)+1\,(y-0)-1\,(z-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad y - z +2 = 0.

Resposta

A equação do plano é
y - z + 2 = 0.

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