Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
r(t)=(t, sen t, 2 cos t)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em R^3
r(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r) = l(t,;sin t,;2cos tr)
Conteúdo: curvas no espaço e esboço de curva paramétrica. Vamos identificar a “forma” da curva e depois marcar alguns pontos para desenhar passo a passo.

Passo 2

Para ver onde a curva se apoia, eliminamos t entre y=sin t e z=2cos t. Note que
sin^2 t + cos^2 t = 1 ;Longrightarrow; y^2 + l(z2r)^2 = 1
Isto diz que a curva está confinada à superfície do cilindro elíptico
y^2 + z^24 = 1
com eixo paralelo ao eixo x.

Passo 3

Marcamos pontos notáveis para algumas t:
t=0: & r(0) = (0,,0,,2), t=tfracpi2: & rl(tfracpi2r) = l(tfracpi2,,1,,0r), t=pi: & r(pi) = (pi,,0,,-2), t=tfrac3pi2: & rl(tfrac3pi2r) = l(tfrac3pi2,,-1,,0r), t=2pi:& r(2pi) = (2pi,,0,,2)
Esses cinco pontos dão a “volta” completa em torno do cilindro elíptico, avançando ao longo de x.

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe três eixos: x horizontal (para a direita), y saindo do plano ou para cima e z vertical.
  2. Desenhe o cilindro elíptico y^2+z^2/4=1 como uma série de elipses ao longo do eixo x.
  3. No plano x=0, desenhe a primeira elipse e marque (0,0,2).
  4. No plano x=tfracpi2, desenhe outra elipse paralela e marque (tfracpi2,1,0).
  5. Repita em x=pi, x=tfrac3pi2, x=2pi.
  6. Una esses pontos por um traço contínuo, formando uma hélice elíptica que “dá voltas” conforme x cresce.

Passo 5

Para indicar a direção de crescimento de t:
– Coloque setas ligando (0,0,2) a (tfracpi2,1,0), depois a (pi,0,-2), etc., apontando sempre para valores maiores de t.
– Isso mostra que, conforme t vai de 0 a 2pi, o ponto percorre um círculo elíptico no sentido anti-horário (visto de quem olha no sentido positivo de x), enquanto avança no eixo x.

Resposta

A curva é uma hélice elíptica contida no cilindro
y^2 + z^24 = 1,
com avanço linear em x=t. O esboço consiste em mostrar várias elipses paralelas ao plano yz em diferentes valores de x, ligar os pontos correspondentes com flechas e indicar que t cresce no sentido do avanço em x e no sentido anti-horário de cada elipse.

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