Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica em
Conteúdo: curvas no espaço e esboço de curva paramétrica. Vamos identificar a “forma” da curva e depois marcar alguns pontos para desenhar passo a passo.
Passo 2
Para ver onde a curva se apoia, eliminamos
entre
e
. Note que
Isto diz que a curva está confinada à superfície do cilindro elíptico
com eixo paralelo ao eixo
.
Passo 3
Marcamos pontos notáveis para algumas
:
Esses cinco pontos dão a “volta” completa em torno do cilindro elíptico, avançando ao longo de
.
Passo 4
Para esboçar:
- Desenhe três eixos:
horizontal (para a direita), saindo do plano ou para cima e vertical. - Desenhe o cilindro elíptico
como uma série de elipses ao longo do eixo . - No plano
, desenhe a primeira elipse e marque . - No plano
, desenhe outra elipse paralela e marque . - Repita em
, , . - Una esses pontos por um traço contínuo, formando uma hélice elíptica que “dá voltas” conforme
cresce.
Passo 5
Para indicar a direção de crescimento de
:
– Coloque setas ligando a
, depois a
, etc., apontando sempre para valores maiores de
.
– Isso mostra que, conforme vai de
a
, o ponto percorre um círculo elíptico no sentido anti-horário (visto de quem olha no sentido positivo de
), enquanto avança no eixo
.
– Coloque setas ligando
– Isso mostra que, conforme
Resposta
A curva é uma hélice elíptica contida no cilindro
com avanço linear em
. O esboço consiste em mostrar várias elipses paralelas ao plano
em diferentes valores de
, ligar os pontos correspondentes com flechas e indicar que
cresce no sentido do avanço em
e no sentido anti-horário de cada elipse.