Verifique se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa.
(U+W) times(U+W)=|U|^2+2 U times W+|W|^2 para quaisquer vetores U, W in R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para quaisquer vetores U,WinR^3, vale a igualdade
(U+W)times(U+W)=|U|^2+2,Utimes W+|W|^2
O conteúdo envolvido são as propriedades do produto vetorial: bilinearidade e anticomutatividade.

Passo 2

Usando bilinearidade do produto vetorial, expandimos o lado esquerdo:
(U+W)times(U+W) =Utimes U + Utimes W + Wtimes U + Wtimes W

Passo 3

Pela anticomutatividade temos
Utimes U = 0, Wtimes W = 0, Wtimes U = -,Utimes W
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(U+W)times(U+W) =0 + Utimes W - Utimes W + 0 =0

Passo 4

O lado direito é
|U|^2+2,Utimes W+|W|^2,
onde |U|^2 e |W|^2 são escalares e 2,Utimes W é um vetor. Não faz sentido somar escalares com vetor e, além disso, em geral 2,Utimes Wneq 0. Portanto a igualdade não se sustenta.

Resposta

Falso.

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