Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(2,-1,3) e possui vetor normal m=(1,4,2).

Passo 1

Queremos a equação do plano em R^3 que passa por A(2,-1,3) e tem vetor normal vec m=(1,4,2). O conteúdo é a equação de um plano dado ponto e vetor normal, e vamos precisar usar a fórmula do produto escalar para planos.

Passo 2

Sabendo que, para um vetor normal (a,b,c) e um ponto (x0,y0,z0), a equação do plano é dado por a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0. Isso vem do fato de que o vetor l((x,y,z)-(x0,y0,z0)r) deve ser ortogonal ao vetor normal.

Passo 3

Agora substituímos a=1, b=4, c=2 e (x0,y0,z0)=(2,-1,3) na fórmula:

Passo 4

1(x-2) + 4l(y-(-1)r) + 2(z-3) = 0

Passo 5

Expandindo e simplificando os termos:

Passo 6

x - 2 + 4y + 4 + 2z - 6 = 0

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes, obtemos a forma geral:

Resposta

x + 4y + 2z - 4 = 0

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