Exercício 14. Seja A=[lll1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8].
a) Calcule a inversa de A.
b) Determine uma matriz X tal que A X A^-1=B, em que B=[rrr0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8
e pede:
a) a inversa de A;
b) uma matriz X tal que
A,X,A^-1=B, B = 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1
O conteúdo envolve inversão de matriz 3times3 (determinante, cofatores, adjunta) e transformação de similaridade (conjugação por A).

Passo 2

Calcular det(A) e a matriz de cofatores de A.
  1. det(A)=1cdot(5cdot8-3cdot0)-2cdot(2cdot8-3cdot1)+3cdot(2cdot0-5cdot1)=40-26-15=-1
  2. Montar a matriz de cofatores C:
C= ;40 & -13 & -5 -16 & ;5 & 2 -9 & 3 & 1
  1. A adjunta é adj(A)=C^T.

Passo 3

Obter A^-1 pela fórmula
A^-1 = 1det(A),adj(A) = -,adj(A),
pois det(A)=-1. Logo
A^-1 = -40 & 16 & 9 13 & -5 & -3 5 & -2 & -1

Passo 4

Da equação A,X,A^-1=B isolamos
X = A^-1,B,A

Passo 5

Vamos calcular primeiro M = A^-1B e depois X=M,A.

Passo 6

  1. Multiplicando A^-1B:
M = A^-1B = -40 & 16 & 9 13 & -5 & -3 5 & -2 & -1 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 = 16 & 65 & -49 -5 & -21 & 16 -2 & -8 & 6
  1. Agora X = M,A:
X = 16 & 65 & -49 -5 & -21 & 16 -2 & -8 & 6 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8 = 97 & 357 & -149 -31 & -115 & 50 -12 & -44 & 18

Resposta

a)
A^-1 = -40 & 16 & 9 13 & -5 & -3 5 & -2 & -1
b)
X = 97 & 357 & -149 -31 & -115 & 50 -12 & -44 & 18

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