Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(1,0,2), B(0,1,1) e C(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos A(1,0,2), B(0,1,1) e C(1,1,0). O conteúdo usado será geometria analítica no espaço: definimos dois vetores no plano, calculamos um vetor normal via produto vetorial e, por fim, escrevemos a equação do plano usando esse normal.

Passo 2

Vamos obter dois vetores que pertencem ao plano, por exemplo AB e AC. Usando as coordenadas de A, B e C, temos
AB = B - A = (0-1,;1-0,;1-2) = (-1,;1,;-1),
AC = C - A = (1-1,;1-0,;0-2) = (0,;1,;-2)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = AB times AC
Calculando o determinante,
n = i & j & k -1 & 1 & -1 0 & 1 & -2 = il(1cdot(-2)-(-1)cdot1r) - jl((-1)cdot(-2)-(-1)cdot0r) + kl((-1)cdot1-1cdot0r),
n = l(-2+1,;-2,;-1r) = (-1,,-2,,-1)
Para simplificar, podemos multiplicar por -1 e usar
n = (1,;2,;1)

Passo 4

A equação geral do plano com normal n=(1,2,1) passando por A(1,0,2) é
ncdotl((x,y,z)-Ar) = 0
Isto é,
1,(x-1) + 2,(y-0) + 1,(z-2) = 0 Longrightarrow x - 1 + 2y + z - 2 = 0 Longrightarrow x + 2y + z - 3 = 0

Resposta

A equação do plano que passa por A, B e C é
x + 2y + z - 3 = 0

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