Encontre a solução do problema de condução de calor.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de condução de calor
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
O método usado será separação de variáveis e expansão em série de senos (aquelas funções que já satisfazem as condições de contorno).
Passo 2
Propondo
, inserimos na equação e dividimos por
, obtendo
Isso gera dois ODEs acoplados:
Passo 3
Das condições
e
segue
logo os autovalores são
e os autofunções
Passo 4
A equação temporal
tem solução
Passo 5
A solução geral é a soma
Passo 6
Na condição inicial
reconhecemos diretamente uma série de senos:
Note que
corresponde a
e
a
. Portanto os coeficientes são
e
para
.