Encontre a solução do problema de condução de calor.
ux x=4 ut, 0<x<2, t>0 ; u(0, t)=0, u(2, t)=0, t>0 ; u(x, 0)=2 sen(pi x / 2)-sen pi x+4 sen 2 pi x

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de condução de calor
ux x=4,ut, 0<x<2,;t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0, u(2,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=2senl(tfracpi x2r)-sen(pi x)+4sen(2pi x)
O método usado será separação de variáveis e expansão em série de senos (aquelas funções que já satisfazem as condições de contorno).

Passo 2

Propondo u(x,t)=X(x),T(t), inserimos na equação e dividimos por X,T, obtendo
X''(x)X(x)=4T'(t)T(t)=-mu
Isso gera dois ODEs acoplados:
X''+mu,X=0, T'+mu4,T=0

Passo 3

Das condições u(0,t)=0 e u(2,t)=0 segue
X(0)=0, X(2)=0,
logo os autovalores são
mun=l(npi2r)^2, n=1,2,3,dots
e os autofunções
Xn(x)=senl(npi x2r)

Passo 4

A equação temporal
T'+mun4,T=0
tem solução
Tn(t)=e^-mun4,t =e^-14l(npi2r)^2t

Passo 5

A solução geral é a soma
u(x,t) =sumn=1^inftyAn,e^-14(npi2)^2 t ;senl(npi x2r)

Passo 6

Na condição inicial u(x,0) reconhecemos diretamente uma série de senos:
u(x,0) =2,senl(tfracpi x2r) -sen(pi x) +4,sen(2pi x)
Note que sen(pi x)=senl(tfrac2pi x2r) corresponde a n=2 e sen(2pi x)=senl(tfrac4pi x2r) a n=4. Portanto os coeficientes são
A1=2, A2=-1, A4=4,
e An=0 para nneq1,2,4.

Resposta

u(x,t) =2,e^-pi^216,t,senl(tfracpi x2r) ;-;e^-pi^24,t,sen(pi x) ;+;4,e^-pi^2,t,sen(2pi x)

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