Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
W=\{(x, y, z) \mid x+y=0, x-z=1\} ;\quad V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y=0,\;x-z=1\}
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.
Para isso lembramos que um subconjunto W é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a primeira condição usando o vetor zero (0,0,0):
x+y=0+0=0\quad(\text{ok})
x-z=0-0=0\neq1\quad(\text{falha})
Logo (0,0,0)\notin W.

Passo 3

Como o vetor zero de \mathbb{R}^3 não pertence a W, falha a condição essencial para subespaço. Não é preciso testar fechamento em soma ou escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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