(Ref. [1]) Aplique o método de decomposição L U para resolver o seguinte sistema \begin{aligned} 8 x_{1}+4 x_{2}-x_{3} & =11 \\\\ -2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3} & =4 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+6 x_{3} & =7 \end{aligned} Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema \begin{aligned} 8x_{1} + 4x_{2} - x_{3} &= 11,\\\\ -2x_{1} + 5x_{2} + x_{3} &= 4,\\\\ 2x_{1} - x_{2} + 6x_{3} &= 7 \end{aligned} usando a decomposição A = LU. O conteúdo aqui é fatorar a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular inferior L com uns na diagonal e uma matriz triangular superior U, depois resolver dois sistemas triangulares Ly=b e Ux=y. Passo 2Para fatorar A = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -1\\\\ -2 & 5 & 1\\\\ 2 & -1 & 6 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}11\\\ 4\\\ 7\end{pmatrix}, usamos o método de Doolittle l_{ii}=1. O primeiro pivô é u_{11}=8. Calculamos l_{21} = \frac{-2}{8} = -\tfrac14, \quad l_{31} = \frac{2}{8} = \tfrac14. Eliminando abaixo de u_{11} em A, obtemos temporariamente \begin{pmatrix} 8 & 4 & -1\\\\ 0 & 6 & 0,75\\\\ 0 & -2 & 6,25 \end{pmatrix}. O segundo pivô é u_{22}=6. Daí l_{32} = \frac{-2}{6} = -\tfrac13. Eliminando abaixo de u_{22}, chegamos a U = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -1\\\\ 0 & 6 & 0,75\\\\ 0 & 0 & 6,5 \end{pmatrix}, \qquad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac14 & 1 & 0\\\ \tfrac14 & -\tfrac13 & 1 \end{pmatrix}. Passo 3Resolvemos L\,y = b por substituição direta: y_{1} = 11, y_{2} = 4 - \bigl(-\tfrac14\bigr)\cdot 11 = 4 + 2,75 = 6,75, y_{3} = 7 - \tfrac14\cdot 11 \;-\;\bigl(-\tfrac13\bigr)\cdot 6,75 = 7 - 2,75 + 2,25 = 6,5. Passo 4Agora resolvemos U\,x = y por substituição regressiva: Da terceira equação 6,5\,x_{3} = 6,5 \implies x_{3} = 1. Da segunda 6\,x_{2} + 0,75\cdot 1 = 6,75 \implies 6\,x_{2} = 6 \implies x_{2} = 1. Da primeira 8\,x_{1} + 4\cdot 1 - 1 = 11 \implies 8\,x_{1} = 8 \implies x_{1} = 1. Resposta x_{1}=1,\;x_{2}=1,\;x_{3}=1. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(Ref. [1], exemplo 10.3) Aplique o método de decomposição L U para decompor a seguinte matriz \left[\begin{array}{ccc} 3 & -0,1 & -0,2 \\\\ 0,1 & 7 & -0,3 \\\\ 0,3 & -0,2 & 10 \end{array}\right] Resolva o seguinte sistema \begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =27 \\\\ -3 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3} & =-61,5 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3} & =-21,5 \end{aligned} Usando o método de decomposição L U. (Ref. [1]) O seguinte sistema de equações permite determinar concentrações em uma série de reatores acoplados como função da quantidade de entrada de massa de cada reator \begin{aligned} 15 c_{1}-3 c_{2}-c_{3} & =3800 \\\\ -3 c_{1}+18 c_{2}-6 c_{3} & =1200 \\\\ -4 x_{1}-c_{2}+12 c_{3} & =2350 \end{aligned} onde c possui unidades de \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, e os valores no lado direito possuem unidades de g/dia. Sem o uso de código computacional, aplique o método de Gauss-Siedel para resolver o sistema até obter um erro relativo percentual menor que 0.05 . Determine a equação do plano tangente de f(x, y)=x^{2}+y^{2} no ponto (1,1, f(1,1)).