(Ref. [1]) Aplique o método de decomposição L U para resolver o seguinte sistema
\begin{aligned} 8 x_{1}+4 x_{2}-x_{3} & =11 \\\\ -2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3} & =4 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+6 x_{3} & =7 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{aligned} 8x_{1} + 4x_{2} - x_{3} &= 11,\\\\ -2x_{1} + 5x_{2} + x_{3} &= 4,\\\\ 2x_{1} - x_{2} + 6x_{3} &= 7 \end{aligned}
usando a decomposição A = LU. O conteúdo aqui é fatorar a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular inferior L com uns na diagonal e uma matriz triangular superior U, depois resolver dois sistemas triangulares Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Para fatorar
A = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -1\\\\ -2 & 5 & 1\\\\ 2 & -1 & 6 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}11\\\ 4\\\ 7\end{pmatrix},
usamos o método de Doolittle l_{ii}=1.
O primeiro pivô é u_{11}=8. Calculamos
l_{21} = \frac{-2}{8} = -\tfrac14, \quad l_{31} = \frac{2}{8} = \tfrac14.
Eliminando abaixo de u_{11} em A, obtemos temporariamente
\begin{pmatrix} 8 & 4 & -1\\\\ 0 & 6 & 0,75\\\\ 0 & -2 & 6,25 \end{pmatrix}.
O segundo pivô é u_{22}=6. Daí
l_{32} = \frac{-2}{6} = -\tfrac13.
Eliminando abaixo de u_{22}, chegamos a
U = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -1\\\\ 0 & 6 & 0,75\\\\ 0 & 0 & 6,5 \end{pmatrix}, \qquad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac14 & 1 & 0\\\ \tfrac14 & -\tfrac13 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Resolvemos L\,y = b por substituição direta: y_{1} = 11,
y_{2} = 4 - \bigl(-\tfrac14\bigr)\cdot 11 = 4 + 2,75 = 6,75,
y_{3} = 7 - \tfrac14\cdot 11 \;-\;\bigl(-\tfrac13\bigr)\cdot 6,75 = 7 - 2,75 + 2,25 = 6,5.

Passo 4

Agora resolvemos U\,x = y por substituição regressiva:
Da terceira equação
6,5\,x_{3} = 6,5 \implies x_{3} = 1.
Da segunda
6\,x_{2} + 0,75\cdot 1 = 6,75 \implies 6\,x_{2} = 6 \implies x_{2} = 1.
Da primeira
8\,x_{1} + 4\cdot 1 - 1 = 11 \implies 8\,x_{1} = 8 \implies x_{1} = 1.

Resposta

x_{1}=1,\;x_{2}=1,\;x_{3}=1.

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