(Ref. [1]) O seguinte sistema de equações permite determinar concentrações em uma série de reatores acoplados como função da quantidade de entrada de massa de cada reator
\begin{aligned} 15 c_{1}-3 c_{2}-c_{3} & =3800 \\\\ -3 c_{1}+18 c_{2}-6 c_{3} & =1200 \\\\ -4 x_{1}-c_{2}+12 c_{3} & =2350 \end{aligned}
onde c possui unidades de \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, e os valores no lado direito possuem unidades de g/dia. Sem o uso de código computacional, aplique o método de Gauss-Siedel para resolver o sistema até obter um erro relativo percentual menor que 0.05 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{aligned} 15\,c_{1}-3\,c_{2}-c_{3}&=3800,\\\\ -3\,c_{1}+18\,c_{2}-6\,c_{3}&=1200,\\\\ -4\,c_{1}-c_{2}+12\,c_{3}&=2350 \end{aligned}
usando o método de Gauss–Seidel até que o erro relativo percentual em cada c_i seja inferior a 0{,}05\%. Vamos precisar reescrever cada equação isolando c_1, c_2 e c_3 e então iterar.

Passo 2

Da primeira equação isolamos
c_{1} = \frac{3800 + 3\,c_{2} + c_{3}}{15}.
Substituindo na segunda e isolando c_{2} obtemos
c_{2} = \frac{1200 + 3\,c_{1} + 6\,c_{3}}{18},
e na terceira isolamos
c_{3} = \frac{2350 + 4\,c_{1} + c_{2}}{12}.
Essas três fórmulas definem o processo iterativo de Gauss–Seidel:
\begin{cases} c_{1}^{(k+1)} = \dfrac{3800 + 3\,c_{2}^{(k)} + c_{3}^{(k)}}{15},\\[6pt] c_{2}^{(k+1)} = \dfrac{1200 + 3\,c_{1}^{(k+1)} + 6\,c_{3}^{(k)}}{18},\\[6pt] c_{3}^{(k+1)} = \dfrac{2350 + 4\,c_{1}^{(k+1)} + c_{2}^{(k+1)}}{12}. \end{cases}]

Passo 3

Escolhemos o palpite inicial
c_{1}^{(0)}=0,\quad c_{2}^{(0)}=0,\quad c_{3}^{(0)}=0
e aplicamos as fórmulas para obter as iterações 1 e 2:
Iteração 1
\begin{aligned} c_{1}^{(1)} &= \frac{3800 + 3\cdot0 + 0}{15} = 253{,}3333,\\\ c_{2}^{(1)} &= \frac{1200 + 3\cdot253{,}3333 + 6\cdot0}{18} =108{,}8889,\\\ c_{3}^{(1)} &= \frac{2350 + 4\cdot253{,}3333 +108{,}8889}{12} =289{,}3518. \end{aligned}
Iteração 2
\begin{aligned} c_{1}^{(2)} &= \frac{3800 +3\cdot108{,}8889 +289{,}3518}{15} =294{,}4012,\\\ c_{2}^{(2)} &= \frac{1200 +3\cdot294{,}4012 +6\cdot289{,}3518}{18} =212{,}1841,\\\ c_{3}^{(2)} &= \frac{2350 +4\cdot294{,}4012 +212{,}1841}{12} =311{,}6491. \end{aligned}

Passo 4

Continuamos as iterações até que o erro relativo percentual em cada variável caia abaixo de 0{,}05\%. Abaixo estão as aproximações de c_{1},c_{2},c_{3} e o erro estimado \bigl|\frac{c^{(k)}-c^{(k-1)}}{c^{(k)}}\bigr|\times100\%:
\begin{array}{c|ccc|ccc} \text{it}&c_{1}^{(k)}&c_{2}^{(k)}&c_{3}^{(k)}& \displaystyle\varepsilon_{1}\%&\varepsilon_{2}\%&\varepsilon_{3}\%\\hline 3&316{,}5468&223{,}3075&319{,}9579&4{,}74&5{,}01&8{,}02\\\\ 4&319{,}3254&226{,}5179&321{,}1516&0{,}88&1{,}40&0{,}37\\\\ 5&320{,}0470&227{,}0584&321{,}4372&0{,}23&0{,}24&0{,}09\\\\ 6&320{,}1742&227{,}1748&321{,}4893&0{,}04&0{,}05&0{,}02\\\\ 7&320{,}2009&227{,}1966&321{,}5000&0{,}008&0{,}010&0{,}003 \end{array}
Na iteração 7 todas as \varepsilon_i\% ficaram abaixo de 0{,}05\%, então paramos.

Resposta

c_{1}\approx320{,}2009,\quad c_{2}\approx227{,}1966,\quad c_{3}\approx321{,}5000
(unidades de \mathrm{g/cm^3}).

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